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阿基米德螺线阿基米德螺线 阿基米德螺线ρ=aθ 极坐标图形的绘制 数学原本不是枯燥的学科,只有真正喜欢数学,才会体会数学中的美,可是在功利化教育体制下,在应试教育的大棒下,数学的美已经被叠套拷贝类型题的海洋淹没,在公式和数字的背后留下的只是枯燥、乏味、深奥和不可琢磨。很多学生畏惧数学,应该说不全是学生本身的问题。高层次的涉及体制的问题,我们高不可攀,学子们对数学的遗憾、怨叹乃至于 憎恨,目前还是应该由教师的教学的手段和方法去化解。 数学中的有些内容,理论性较强,初学者较难很快接受,其中极坐标就是一例。其实极坐标及其涉及的...
阿基米德螺线 阿基米德螺线ρ=aθ 极坐标图形的绘制 数学原本不是枯燥的学科,只有真正喜欢数学,才会体会数学中的美,可是在功利化教育体制下,在应试教育的大棒下,数学的美已经被叠套拷贝类型
和数字的背后留下的只是枯燥、乏味、深奥和不可琢磨。很多学生畏惧数学,应该说不全是学生本身的问题。高层次的涉及体制的问题,我们高不可攀,学子们对数学的遗憾、怨叹乃至于 憎恨,目前还是应该由教师的教学的手段和方法去化解。 数学中的有些内容,理论性较强,初学者较难很快接受,其中极坐标就是一例。其实极坐标及其涉及的螺线,不仅不枯燥不乏味,而且对其的探索,能很有力地展现数学的美。 极坐标的概念出现在高中数学中,但鉴于该内容在高考所占比例较少,限于许多学校数学教学手段、方法比较传统,极坐标的教学内容比较简单,涉及螺线部分,更是单薄。现在 可以使用Excel图表工具,轻松地将各种螺线画出,数形结合,研究其性质。 螺线种类很多,最具有代表性的就是阿基米德螺线。关于阿基米德螺线的运用可见【注】。 古希腊数学家阿基米德(前287,前212)不只对物理做出了贡献,他的几何学研究也称得上是希腊数学的巅峰。他不光研究圆、椭圆、抛物线、旋转抛物体,还提出了一种特殊的螺旋线,这种螺旋线由两种运动形成:设想一个虫子站在匀速旋转的圆盘之上,从圆心沿某个半径向外爬行,它的影子会在天花板上绘出一条螺线。这螺线就是阿基米德螺线。 阿基米德螺线又称“等速螺线”。当一点P沿动射线OP用速度v做等速率直线运动的同时,这条射线又以等角速度ω绕点O旋转,点P的轨迹称为“阿基米德螺线”,其极坐 标表示式是: ρ,aθ 这里a为实数,ρ是点P到极点的距离,θ是用弧度表示的射线与极轴的夹角。 尤其注意的是:角θ是以弧度表示的角。弧度这一概念在高一数学中介绍过。初接触弧度制时,不少学生是在朦朦胧胧中接受的,知其然不知其所以然:角度蛮好的嘛,为什么要用弧度,弧度、弧度搞得人糊里糊涂。而在这里实际作图时,可以理解弧度作为实数可以和实数a相乘了,可以作出美丽的曲线了,如果是沿袭角度制,两者相乘,那其结果就不伦 不类、风马牛不相干了。解决了过去的悬念,可以“知新而温故”。 另外之所以称之为等速螺线,是因为点P做等速直线运动、射线做等角速度圆周运动, 两项运动的时间都为t,则: 点P沿动射线OP用速度v做等速率直线运动, 则ρ,vt; 而同时,射线OP又以等角速度ω绕点O旋转, 则θ,ωt。 Excel图表没有专门的极坐标作图图形类别,要从极坐标转化为直角坐标: X,ρCOSθ Y,ρSINθ 以下以画出ρ,10θ图形为例(a=10)。 【步骤01】设置数据表: 设置常数a:对于ρ,aθ,本例a=10,为了后面引用方便,在单元格B1置入10。 将A列设置为极角数据:在单元格A3输入0,A4输入0.1,选中这两格,左键移到右下角出现“+”号时,将鼠标一直往下拖,直至A28,极角以0.1弧度递增变化; 将B列设置为极径ρ数据:在单元格B3公式:“=$B$1*A3”; 将C列设为X数据:在单元格C3输入公式:“=B3*COS(A3)”; 将D列设为Y数据:在单元格D3输入公式:“=B3*SIN(A3)”; 拖曳填充:选中B3:D3,按住右下角+号,向下拖曳到第28行。如表1所示: 表1 【步骤02】选图表类型: 选中C3:D28,进入【图表向导】,在“图表类型”中的“
类型”选“XY散点图”, 在“子图表类型”中选择第二行第二个“无数据点平滑线所示,进入“下 一步”。 图1 【步骤02】行列选择: 在【图表源数据】中的“数据区域”选项中,选择系列产生在“列”。如图2所示。 图2 【步骤03】成图: 进入下一步,取消图例,确定后,对所得图表格式作适当调整,如图3所示,即为所需要的ρ,10θ图形。这里要提醒注意的是:由于Excel图表的横纵轴的单位大小不一定相等,作图时需要适当调整到基本一致,否则,作出的图形会变形失真。本文所作之图尽 量保留Excel图表的坐标轴、单位与网格线 以上数据如扩大到θ,6π左右,阿基米德螺线图像就是我们常用的蚊香了,蚊香的燃烧完全符合等速螺线的概念,只不过燃烧的方向与作图的顺序相反而已,如图4所示。其实 阿基米德等速螺线还有许多用处,有些将在今后的文章中介绍。 图4 等速螺线 因为Excel图表绘制实际还是使用参数方程的方式,描绘散点XY平滑曲线图,因此对于使用参数方程表述的,同样可以画出许多美丽的曲线,大家可以自己试试。由于本文只谈简单的作图问题,对于各种美丽的螺线和摆线引出的许多有趣的故事,大家可以到网上搜索 查阅。 图5三叶线心脏线 对数螺线 下面图形不过是是参数的改变所得,就不注明曲线
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